Monoidring/Quadrik/Aus Graduierung/Beispiel

Wir betrachten die ${}\mathbb {Z}$-Graduierung (aufgefasst als Gruppenhomomorphismus ${}\mathbb {Z} ^{4}\rightarrow \mathbb {Z}$) auf ${}K[U_{1},U_{2},V_{1},V_{2}]$, bei der ${}U_{1},U_{2}$ den Grad ${}1$ und ${}V_{1},V_{2}$ den Grad ${}-1$ bekommen. Der Kern dieser Graduierung ist

${}\mathbb {Z} ^{3}\cong \Delta :=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\rangle \subset \mathbb {Z} ^{4}\,.$

Das Monoid

${}M=\Delta \cap \mathbb {N} ^{4}\,$

wird zusätzlich von ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt. Die vier Monoiderzeuger entsprechen den Monomen vom Grad ${}U_{1}V_{1},U_{1}V_{2},U_{2}V_{1},U_{2}V_{2}$, die den Monoidring als Algebra erzeugen. Wir berechnen die Linearformen, die im Sinne des Beweises der Rückrichtung von Fakt den Kegel im ${}\mathbb {R} ^{3}$ beschreiben, der das Monoid festlegt. Diese Linearformen ergeben sich durch die vier Projektionen des ${}\mathbb {R} ^{4}$ eingeschränkt auf ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit der obigen Einbettung. Dies ergibt die Linearformen

$\pi _{1}=(1,1,0),\,\pi _{2}=(0,0,1),\,\pi _{3}=(1,0,1),\,\pi _{4}=(0,1,0).$

Die Erzeuger dieses Kegels im ${}\mathbb {R} ^{3}$ sind

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}.$

Sie werden durch ${}\pi$ auf die oben erwähnten Monoiderzeuger abgebildet.