Monoidringe/Dimension zwei/Standardkegel/Z^2-XY/Monoid und Bewertungen/Beispiel

Wir betrachten das durch $(1,0),(-1,2)$ und $(0,1)$ erzeugte Untermonoid  ${}M\subseteq \mathbb {Z} ^{2}$.  Für den zugehörigen Monoidring gilt  ${}K[M]\cong K[X,Y,Z]/{\left(Z^{2}-XY\right)}$.  Wir behaupten, dass das Monoid normal ist, also mit seiner Normalisierung übereinstimmt. Die beiden Erzeuger ${}(1,0)$ und ${}(-1,2)$ definieren je eine Gerade in ${}\mathbb {R} ^{2}$, und das Monoid besteht aus allen Gitterpunkten (Punkte im ${}\mathbb {Z} ^{2}$) innerhalb des durch diese Geraden definierten Kegels. Dies sieht man so: Die Gitterpunkte in diesem Kegel sind durch die beiden Bedingungen

$\left\{(s,t)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid t\geq 0{\text{ und }}t\geq -2s\right\}$

gegeben. Ein Punkt daraus mit  ${}s\geq 0$  gehört offensichtlich zu ${}M$. Es sei also ${}(s,t)$ ein Punkt daraus mit  ${}s<0$.  Wegen der zweiten linearen Bedingung kann man

${}(s,t)=-s(-1,2)+(t+2s)(0,1)\,$

schreiben, was wegen  ${}t+2s\geq 0$  zu ${}M$ gehört.

Mit den zwei Geraden lässt sich ${}M$ auch sofort als  ${}M=M_{1}\cap M_{2}$  beschreiben, mit  ${}M_{1}=\left\{(s,t)\mid t\geq 0\right\}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$  und  ${}M_{2}=\left\{(s,t)\mid t\geq -2s\right\}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$,  wobei die zweite Identifizierung von der ${}\mathbb {Z}$-Basis ${}(-1,2),(0,1)$ herrührt. Aus dieser expliziten Beschreibung folgt, dass der zugehörige Monoidring normal ist.