Wir betrachten das durch
und
erzeugte Untermonoid
.
Für den zugehörigen
Monoidring
gilt
.
Wir behaupten, dass das Monoid normal ist, also mit seiner Normalisierung übereinstimmt. Die beiden Erzeuger
und
definieren je eine Gerade in
, und das Monoid besteht aus allen Gitterpunkten
(Punkte im
)
innerhalb des durch diese Geraden definierten Kegels. Dies sieht man so: Die Gitterpunkte in diesem Kegel sind durch die beiden Bedingungen
-
gegeben. Ein Punkt daraus mit
gehört offensichtlich zu
. Es sei also
ein Punkt daraus mit
.
Wegen der zweiten linearen Bedingung kann man
-
![{\displaystyle {}(s,t)=-s(-1,2)+(t-2s)(0,1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7889004fbb75e5eed80e0a6ff703d2896971c655)
schreiben, was wegen
zu
gehört.
Mit den zwei Geraden lässt sich
auch sofort als
beschreiben, mit
und
,
wobei die zweite Identifizierung von der
-Basis
herrührt. Aus dieser expliziten Beschreibung folgt, dass der zugehörige Monoidring normal ist.