Monomiale Kurven/Schnittpunkte/Multiplizität/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}X^{3}=Y^{2}=X^{5}\,$

und somit muss in einem Schnittpunkt

${}X^{5}-X^{3}=X^{3}(X^{2}-1)=X^{3}(X-1)(X+1)=0\,$

sein. Dies ergibt für die ${}X$-Koordinate die Möglichkeiten

${}X=0,1-1\,.$

Dies führt auf die Schnittpunkte

$(0,0),\,(1,1),\,(1,-1),\,(-1,-{\mathrm {i} }),\,(-1,-{\mathrm {i} }).$

Wir berechnen die Schnittmultiplizität über die Dimension von

$(K[X,Y]/(Y^{2}-X^{3},X^{3}(1-X^{2})))_{\mathfrak {m}}$

zu den verschiedenen maximalen Idealen. Bei ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$ geht es um den Ring

${}K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^{2}-X^{3},X^{3})=K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^{2},X^{3})\,$

und ${}1,X,X^{2},Y,YX,YX^{2}$ ist eine ${}K$-Basis dieses Ringes, die Schnittmultiplizität ist also ${}6$. Bei ${}{\mathfrak {m}}=(X-1,Y-1)$ ist

${}Y^{2}-X^{3}=-(X^{2}+X+1)(X-1)+(Y+1)(Y-1)\,$

und

${}X^{5}-X^{3}=X^{3}(X+1)(X-1)\,,$

wobei die Koeffizientenpolynome im lokalen Ring ${}K[X,Y]_{\mathfrak {m}}$ Einheiten sind. Also ist die Schnittmultiplizität gleich ${}1$. Ebenso ist bei ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y+1)$ die Schnittmultiplizität gleich ${}1$. Bei ${}{\mathfrak {m}}=(X+1,Y\pm {\mathrm {i} })$ ist

${}Y^{2}-X^{3}=(X^{2}+X+1)(X-1)+(Y+{\mathrm {i} })(Y-{\mathrm {i} })\,$

und nach dem gleichen Argument wie zuvor ist die Schnittmultiplizität gleich ${}1$.

Um die Schnittpunkte im Projektiven zu bestimmen, betrachten wir die homogenen Polynome ${}ZY^{2}-X^{3}$ und ${}Z^{3}Y^{2}-X^{5}$ und setzen ${}Z=0$. Dies ergibt den einzigen weiteren Schnittpunkt ${}(0,1,0)$ (in homogenen Koordinaten). Zur Berechnung der Schnittmultiplizität setzen wir ${}Y=1$ und müssen den Ring

${}K[X,Z]/(Z-X^{3},Z^{3}-X^{5})=K[X]/(X^{5}-X^{9})\,$

betrachten. Dessen ${}K$-Dimension ist ${}5$, was somit die Schnittmultiplizität in diesem Punkt ist.

Zur gelösten Aufgabe