Monomiale ebene Kurve/Exponent/Gemeinsamer Teiler/Fakt

Es sei

${}V=V{\left(Z^{ca}-W^{cb}\right)}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}\,$

mit ${}a,b$ teilerfremd.

Dann gibt es eine Faktorzerlegung

${}Z^{ca}-W^{cb}=\prod _{j=0}^{c-1}{\left(Z^{a}-\zeta ^{j}W^{b}\right)}\,,$

wobei ${}\zeta$ eine ${}c$-te primitive Einheitswurzel ist. Die Komponenten ${}V{\left(Z^{a}-\zeta ^{j}W^{b}\right)}$ sind untereinander isomorph und schneiden sich paarweise im Nullpunkt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen