Monomiale ebene Kurve/Exponent/Gemeinsamer Teiler/Fakt

Es sei

$V=V(Z^{ca}-W^{cb})\subseteq {ℂ}^2$

mit $a,b$ teilerfremd.

Dann gibt es eine Faktorzerlegung

$Z^{ca}-W^{cb}=\prod _{j=0}^{c-1}(Z^a-{\zeta }^j{W}^b),$

wobei $\zeta$ eine $c$-te primitive Einheitswurzel ist. Die Komponenten $V(Z^a-{\zeta }^j{W}^b)$ sind untereinander isomorph und schneiden sich paarweise im Nullpunkt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen