Monomiale ebene Kurve/Exponent/Gemeinsamer Teiler/Fakt/Beweis

Beweis

Es gilt

$X^c-Y^c=\prod _{j=0}^{c-1}(X-{\zeta }^{j}Y).$

Wenn man  $X=Z^a$  und  $Y=W^b$  einsetzt, so erhält man das Resultat. Es sei $\xi$ eine $b$-te Wurzel von $1/{\zeta }^j$. Dann ist

$V(Z^a-W^b)⟶V(Z^a-{\zeta }^j{W}^b),(z,w)⟼(z,\xi w),$

ein Isomorphismus. Ferner ist bei  $j\ne k$ 

$(Z^a-{\zeta }^j{W}^b,Z^a-{\zeta }^k{W}^b)=(Z^a,W^b),$

die Nullstellenmenge davon ist allein der Nullpunkt.

Zur bewiesenen Aussage