Monomiale ebene Kurve/Exponent/Gemeinsamer Teiler/Fakt/Beweis

Beweis

Es gilt

${}X^{c}-Y^{c}=\prod _{j=0}^{c-1}{\left(X-\zeta ^{j}Y\right)}\,.$

Wenn man ${}X=Z^{a}$ und ${}Y=W^{b}$ einsetzt, so erhält man das Resultat. Es sei ${}\xi$ eine ${}b$-te Wurzel von ${}1/\zeta ^{j}$. Dann ist

$V{\left(Z^{a}-W^{b}\right)}\longrightarrow V{\left(Z^{a}-\zeta ^{j}W^{b}\right)},\,(z,w)\longmapsto (z,\xi w),$

ein Isomorphismus. Ferner ist bei ${}j\neq k$

${}{\left(Z^{a}-\zeta ^{j}W^{b},Z^{a}-\zeta ^{k}W^{b}\right)}={\left(Z^{a},W^{b}\right)}\,,$

die Nullstellenmenge davon ist allein der Nullpunkt.

Zur bewiesenen Aussage