Monomiale ebene Kurve/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ${}\varphi$ ist wohldefiniert und stetig. Zu einem fixierten, von ${}0$ verschiedenen Punkt

{}{\left({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},{\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2}\right)}\in V\,

zeigen wir, dass es ein eindeutiges Urbild gibt. Wir behaupten, dass die reelle Bahn ${}{\left(u^{b}{\tilde {x}}_{1},u^{b}{\tilde {x}}_{2},u^{a}{\tilde {y}}_{1},u^{a}{\tilde {y}}_{2}\right)}$ , ${}u\in \mathbb {R} _{+}$ durch diesen Punkt die dreidimensionale Sphäre in genau einem Punkten schneidet. Die Schnittbedingung ist

{\left(u^{b}{\tilde {x}}_{1}\right)}^{2}+{\left(u^{b}{\tilde {x}}_{2}\right)}^{2}+{\left(u^{a}{\tilde {y}}_{1}\right)}^{2}+{\left(u^{a}{\tilde {y}}_{2}\right)}^{2}=u^{2b}{\left({\tilde {x}}_{1}^{2}+{\tilde {x}}_{2}^{2}\right)}+u^{2a}{\left({\tilde {y}}_{1}^{2}+{\tilde {y}}_{2}^{2}\right)}=1\,.

Wegen der monomialen Bedingung sind sowohl ${}({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2})$ als auch ${}({\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2})$ von ${}0$ verschieden und daher sind ${}c={\tilde {x}}_{1}^{2}+{\tilde {x}}_{2}^{2}$ und ${}d={\tilde {y}}_{1}^{2}+{\tilde {y}}_{2}^{2}$ positive reelle Zahlen. Es liegt also eine Gleichung der Form

{}c{\left(u^{b}\right)}^{2}+d{\left(u^{a}\right)}^{2}=1\,

vor. Die Gleichung

{}cv^{2}+dw^{2}=1\,

beschreibt eine Ellipse und es muss wegen der Positivität von ${}u,v,w$

{}v=u^{b}\,

und

{}w=u^{a}\,

gelten. Dafür gibt es nur eine Lösung in ${}u$ . (dies sieht man auch, wenn man ${}c{\left(u^{b}\right)}^{2}+d{\left(u^{a}\right)}^{2}$ nach ${}u$ ableitet und das aymptotische Verhalten dieser Funktion betrachtet). Das legt über ${}x_{1}:=u^{b}{\tilde {x}}_{1}$ etc. auch die anderen Koordinaten im Urbild fest.