Monomiale ebene Kurve/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert und stetig. Zu einem fixierten, von verschiedenen Punkt

zeigen wir, dass es ein eindeutiges Urbild gibt. Wir behaupten, dass die reelle Bahn , durch diesen Punkt die dreidimensionale Sphäre in genau einem Punkten schneidet. Die Schnittbedingung ist

Wegen der monomialen Bedingung sind sowohl als auch von verschieden und daher sind und positive reelle Zahlen. Es liegt also eine Gleichung der Form

vor. Die Gleichung

beschreibt eine Ellipse und es muss wegen der Positivität von

und

gelten. Dafür gibt es nur eine Lösung in . (dies sieht man auch, wenn man nach ableitet und das aymptotische Verhalten dieser Funktion betrachtet). Das legt über etc. auch die anderen Koordinaten im Urbild fest.

Die Norm von ist wegen

gleich . Es sei die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit

Die beschriebene Hintereinanderschaltung ist dann