Monomiale ebene Kurve/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung $φ$ ist wohldefiniert und stetig. Zu einem fixierten, von $0$ verschiedenen Punkt

({\tilde{x}}_{1}, {\tilde{x}}_{2}, {\tilde{y}}_{1}, {\tilde{y}}_{2}) \in V

zeigen wir, dass es ein eindeutiges Urbild gibt. Wir behaupten, dass die reelle Bahn $(u^{b} {\tilde{x}}_{1}, u^{b} {\tilde{x}}_{2}, u^{a} {\tilde{y}}_{1}, u^{a} {\tilde{y}}_{2})$ , $u \in ℝ_{+}$ durch diesen Punkt die dreidimensionale Sphäre in genau einem Punkt schneidet. Die Schnittbedingung ist

{(u^{b} {\tilde{x}}_{1})}^{2} + {(u^{b} {\tilde{x}}_{2})}^{2} + {(u^{a} {\tilde{y}}_{1})}^{2} + {(u^{a} {\tilde{y}}_{2})}^{2} = u^{2 b} ({\tilde{x}}_{1}^{2} + {\tilde{x}}_{2}^{2}) + u^{2 a} ({\tilde{y}}_{1}^{2} + {\tilde{y}}_{2}^{2}) = 1 .

Wegen der monomialen Bedingung sind sowohl $({\tilde{x}}_{1}, {\tilde{x}}_{2})$ als auch $({\tilde{y}}_{1}, {\tilde{y}}_{2})$ von $0$ verschieden und daher sind $c = {\tilde{x}}_{1}^{2} + {\tilde{x}}_{2}^{2}$ und $d = {\tilde{y}}_{1}^{2} + {\tilde{y}}_{2}^{2}$ positive reelle Zahlen. Es liegt also eine Gleichung der Form

c {(u^{b})}^{2} + d {(u^{a})}^{2} = 1

vor. Die Gleichung

c v^{2} + d w^{2} = 1

beschreibt eine Ellipse und es muss wegen der Positivität von $u, v, w$

v = u^{b}

und

w = u^{a}

gelten. Dafür gibt es nur eine Lösung in $u$ . (dies sieht man auch, wenn man $c {(u^{b})}^{2} + d {(u^{a})}^{2}$ nach $u$ ableitet und das asymptotische Verhalten dieser Funktion betrachtet). Das legt über $x_{1} := u^{b} {\tilde{x}}_{1}$ etc. auch die anderen Koordinaten im Urbild fest.

Die Norm von $γ (s)$ ist wegen

γ (s) = (e^{2 b π i s}, e^{2 a π i s}) = (\cos 2 b s, \sin 2 b s, \cos 2 a s, \sin 2 a s) = ({\tilde{x}}_{1}, {\tilde{x}}_{2}, {\tilde{y}}_{1}, {\tilde{y}}_{2})

gleich $\sqrt{2}$ . Es sei $u_{0}$ die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit

u_{0}^{2 b} + u_{0}^{2 a} = 1 .

Die beschriebene Hintereinanderschaltung ist dann

S^{1} ⟶ L, s ⟼ (u_{0}^{b} e^{2 b π i s}, u_{0}^{a} e^{2 a π i s}) = (u_{0}^{b} \cos 2 b s, u_{0}^{b} \sin 2 b s, u_{0}^{a} \cos 2 a s, u_{0}^{a} \sin 2 a s) .

Zur bewiesenen Aussage