a) Da das uneigentliche Integral existiert sind insbesondere die eigentlichen Integrale
für
nach oben beschränkt, sagen wir durch die Schranke
. Nehmen wir an, dass die Funktion
für
nicht gegen
konvergiert. Dann gibt es ein
derart, dass es zu jedem
ein
mit
gibt. Wegen der Monotonie gilt auch
für alle
. Daher ist
-

Wir wählen
derart, dass
ist und erhalten einen Widerspruch.
b) Wir betrachten die Funktion
-
die folgendermaßen definiert ist. Wenn

zu einem Intervall der Form
-
(mit einer natürlichen Zahl
)
gehört, so setzen wir
-
und
sonst. Dabei ist
für natürliche Zahlen
, wie sich direkt durch Einsetzen ergibt. Da andererseits
ist, existiert kein Grenzwert für
. Die Abbildung ist stetig, wie sich ebenfalls durch Einsetzen an den Übergangsstellen ergibt. Um zu zeigen, dass das uneigentliche Integral existiert, betrachten wir zu natürlichen Zahlen
die Integrale
-
Da es sich um ein Dreieck mit Grundseite
und Höhe
handelt, ist dieses Integral gleich
(man kann auch durch
abschätzen).
Daher ist
-
Da die Reihe rechts konvergiert, ist die linke Seite nach oben beschränkt, daher existiert das uneigentliche Integral.