Monoton fallend/Uneigentliches Integral/Limes ist null/Ohne Monotonie/Aufgabe/Lösung

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a) Da das uneigentliche Integral existiert sind insbesondere die eigentlichen Integrale für nach oben beschränkt, sagen wir durch die Schranke . Nehmen wir an, dass die Funktion für nicht gegen konvergiert. Dann gibt es ein derart, dass es zu jedem ein mit gibt. Wegen der Monotonie gilt auch für alle . Daher ist

Wir wählen so, dass ist und erhalten einen Widerspruch.

b) Wir betrachten die Funktion

die folgendermaßen definiert ist. Wenn zu einem Intervall der Form

(mit einer natürlichen Zahl ) gehört, so setzen wir

und sonst. Dabei ist für natürliche Zahlen , wie sich direkt durch Einsetzen ergibt. Da andererseits ist, existiert kein Grenzwert für . Die Abbildung ist stetig, wie sich ebenfalls durch Einsetzen an den Übergangsstellen ergibt. Um zu zeigen, dass das uneigentliche Integral existiert, betrachten wir zu natürlichen Zahlen die Integrale

Da es sich um ein Dreieck mit Grundseite und Höhe handelt, ist dieses Integral gleich (man kann auch durch abschätzen). Daher ist

Da die Reihe rechts konvergiert, ist die linke Seite nach oben beschränkt, daher existiert das uneigentliche Integral.
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