Monoton fallend/Uneigentliches Integral/Limes ist null/Ohne Monotonie/Aufgabe

a) Sei

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine monoton fallende stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt$

existiert. Zeige, dass

$\operatorname {lim} _{t\rightarrow \infty }\,f(t)=0$

ist.

b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.

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