Monotonie/x + sin x/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung von ${}f$ ist

{}f'(x)=1+\cos x\,.

Wegen

{}-1\leq \cos x\leq 1\,

ist ${}f'(x)\geq 0$ , und da der Kosinus nur bei reellen Zahlen der Form ${}\pi +n2\pi$ ( ${}n\in \mathbb {Z}$ )

den Wert

{}-1

besitzt, besitzt

{}f'

nur dort eine Nullstelle. Nach Fakt (2) (angewendet auf ein beliebiges beschränktes Teilintervall) ist die Funktion streng wachsend.