Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt

Es sei  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein offenes Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Funktion ${}f$ ist genau dann auf ${}I$ wachsend (bzw. fallend), wenn  ${}f'(x)\geq 0$  (bzw. ${}f'(x)\leq 0$) für alle  ${}x\in I$  ist.
2. Wenn  ${}f'(x)\geq 0$  für alle  ${}x\in I$  ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng wachsend.
3. Wenn  ${}f'(x)\leq 0$  für alle  ${}x\in I$  ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng fallend.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen