Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Funktion ${}f$ ist genau dann auf ${}I$ wachsend (bzw. fallend), wenn ${}f'(x)\geq 0$ (bzw. ${}f'(x)\leq 0$) für alle ${}x\in I$ ist.
2. Wenn ${}f'(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$ ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng wachsend.
3. Wenn ${}f'(x)\leq 0$ für alle ${}x\in I$ ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng fallend.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen