Motzkin-Polynom/Positives Vielfaches/Darstellung als Summe von Quadraten/Aufgabe

Wir betrachten das Polynom

${}F=X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1\,.$

a) Finde eine reelle Nullstelle von ${}F$.

b) Bestätige die Gleichung

${}{\begin{aligned}F\cdot (X^{2}+Y^{2}+1)&=(X^{2}Y-Y)^{2}+(XY^{2}-X)^{2}+(X^{2}Y^{2}-1)^{2}+{\frac {1}{4}}(XY^{3}-X^{3}Y)^{2}+{\frac {3}{4}}(XY^{3}+X^{3}Y-2XY)^{2}.\\\,\end{aligned}}$

c) Es sei  ${}K=\mathbb {R}$.  Folgere, dass

${}F(x,y)\geq 0\,$

ist für alle Punkte  ${}(x,y)\in {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$. 

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