Motzkin-Polynom/Positives Vielfaches/Darstellung als Summe von Quadraten/Aufgabe

Wir betrachten das Polynom

${}F=X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1\,.$

1. Finde eine reelle Nullstelle von ${}F$.
2. Bestätige die Gleichung

   ${}{\begin{aligned}F\cdot (X^{2}+Y^{2}+1)&=(X^{2}Y-Y)^{2}+(XY^{2}-X)^{2}+(X^{2}Y^{2}-1)^{2}+{\frac {1}{4}}(XY^{3}-X^{3}Y)^{2}+{\frac {3}{4}}(XY^{3}+X^{3}Y-2XY)^{2}\\\,\end{aligned}}$

3. Sei ${}K=\mathbb {R}$. Folgere, dass

   ${}F(x,y)\geq 0\,$

   ist für alle Punkte ${}(x,y)\in {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$.

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