Motzkin-Polynom/Positives Vielfaches/Darstellung als Summe von Quadraten/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
  1. Es ist offenbar eine Nullstelle von .
  2. Es ist
    Wir berechnen für die andere Seite

    die Koeffizienten zu den Monomen. Es kommen nur gerade Grade vor und es kommt maximal der Grad vor, wobei zu diesem nur die drei hinteren Summanden beitragen, und nur auftreten.

    Grad 6. Es kommt nur und vor.

    Grad 4. Es kommt nur vor.

    Grad 2. Es kommt nur vor.

    Grad 0.

  3. Durch Division der Gleichung aus (2) durch erhält man im Quotientenkörper zu die Gleichung
    Da reell keine Nullstelle hat, gilt diese Gleichung auch im Sinne einer funktionalen Gleichung von Funktionen von nach . Da Quadrate nie negativ werden und die Koeffizienten zu den beteiligten Quadraten von Polynomen positiv sind, ist diese Funktion an jedem Punkt nichtnegativ.