Multiplikation auf Z/Duale Sequenz/Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {Z}$, ${}a\neq 0$. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {a}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} /(a)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} /(a),\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} \cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} \cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow E\cong \mathbb {Z} /(a)\longrightarrow 0$

führt.

Eine Lösung erstellen