N/Abbildungen/Arithmetisch repräsentierbar/Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Abbildungen ${}\varphi \colon \mathbb {N} ^{r}\rightarrow \mathbb {N}$ arithmetisch repräsentierbar sind.

1. Die Addition

   $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x+y.$

2. Die Multiplikation

   $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y.$

3. Die eingeschränkte Subtraktion

   $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {max} _{}^{}{\left(x-y,0\right)},$

   die bei ${}y>x$ den Wert ${}0$ besitzt.

4. Die Restfunktion

   $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(n,t)\longmapsto r(n,t),$

   die den Rest (zwischen ${}0$ und ${}t-1$) bei Division von ${}n$ durch ${}t$ angibt.

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