Natürliche Zahl/Dezimalsystem/Umrechnung/Beispiel

Wir wollen die im Dezimalsystem gegebene Zahl ${}187$ im Dreiersystem ausdrücken. Dazu müssen wir (analog zur zweiten Methode aus Bemerkung) die größte Dreierpotenz finden, die unterhalb ${}187$ liegt. Das ist

${}81=3^{4}\,$

(da ${}243=3^{5}$ zu groß ist). Für diese Potenz müssen wir schauen, wie oft sie in ${}187$ hineingeht. Wegen

${}2\cdot 81=162<187\,$

sind das zweimal. Wir wissen daher, dass die Entwicklung der Zahl im Dreiersystem ${}2\cdot 3^{4}$ beinhaltet, die Ziffer ${}2$ steht somit als Anfangsziffer fest. Die weitere Ziffernentwicklung hängt jetzt nur von der Differenz

${}187-162=25\,$

ab. Diese Zahl ist kleiner als

${}27=3^{3}\,,$

was bedeutet, dass die dritte Dreierpotenz „gar nicht“ und das heißt hier mit der Ziffer ${}0$ vorkommt. Wir arbeiten dann mit ${}25$ und mit der nächstkleineren Dreierpotenz weiter, also mit

${}9=3^{2}\,.$

Diese hat wieder zweimal Platz in ${}25$, die Differenz ist

${}25-18=7\,.$

Die

${}3=3^{1}\,$

passt wieder zweimal rein, übrig bleibt ${}1$. Im Dreiersystem lautet also die Ziffernentwicklung

$20221.$

Diese Ziffernfolge kann man sukzessive notieren (Nullen nicht vergessen) oder aber in der Rechnung stets deutlich machen, auf welche Potenz sich der jeweilige Rechenschritt bezieht und dann zum Schluss daraus die Ziffernfolge ablesen.