Zehnersystem/Division mit Rest/Durchführung/Bemerkung

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Aus dem Beweis zu Fakt kann man ablesen, wie man zu einer irgendwie gegebenen natürlichen Zahl die Entwicklung im Zehnersystem erhält. Man dividiert die Zahl durch und der Rest gibt die Endziffer. Dann zieht man von diesen Rest ab und weiß, dass diese Zahl ein Vielfaches von ist. Man dividiert sie durch und bestimmt erneut den Rest, der die Zehnerziffer gibt, u.s.w. Bei diesem Verfahren berechnet man also die Ziffern von hinten nach vorne.

Ein anderes Verfahren, bei dem man die Ziffern von vorne nach hinten berechnet, geht folgendermaßen: Man bestimmt die maximale Zehnerpotenz , die in hineinpasst, es muss also

gelten. Dann findet man das maximale Vielfache von , das in hineinpasst, also die Zahl mit

Diese Zahl muss zwischen und liegen. Der Wert

kann nicht sein, da ansonsten im Widerspruch zur Wahl der Zehnerpotenz wäre, ein Wert kann nicht sein, da ansonsten

wäre, was wieder der Wahl der Zehnerpotenz widerspricht. Diese Ziffer ist dann die Anfangsziffer der Dezimalentwicklung. Nun rechnet man

und weiß nach der Wahl von und , dass diese neue Zahl echt kleiner als ist. Man bestimmt das maximale Vielfache von unterhalb von , der Vorfaktor (der sein kann) ergibt die Ziffer und man zieht das Vielfache von ab und wiederholt das Verfahren.