Natürliche Zahl/Zehnersystem/Nachfolger/Algorithmus/Bemerkung

Das Dezimalsystem im Sinne eines Zählsystems, das die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt, hat erstmal nichts mit Summe, Produkt, Potenzen zu tun, sondern ist allein durch die folgende Struktur (Menge mit Zählvorschrift) gegeben. Die Elemente sind von der Form

$a_{\ell }a_{\ell -1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0},$

also einfach endliche geordnete Tupel von Ziffern (Ziffernfolgen) aus der Menge ${}\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Dabei ist ${}0$ das Startelement. Der Zählvorgang wird durch den folgenden dezimalen Zähl-Algorithmus beschrieben.

1. Für einstellige Ziffern ${}\neq 9$ ist der Nachfolger gemäß der Reihenfolge ${}\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ festgelegt (dies ist das kleine Einsnacheins).
2. Für beliebige Zahlen im Zehnersystem mit einer letzten Ziffer ${}\neq 9$ ist der Nachfolger diejenige Ziffernfolge, bei der die letzte Ziffer durch den Nachfolger ersetzt wird und alle anderen Ziffern unverändert übernommen werden.
3. Für beliebige Zahlen im Zehnersystem mit einer Neun als letzter Ziffer sind sämtliche zusammenhängenden Neunen von hinten durch Nullen zu ersetzen und die von hinten erste von ${}9$ verschiedene Ziffer durch ihren Nachfolger zu ersetzen, die übrigen Ziffern bleiben gleich (wenn die Zahl ausschließlich aus Neunen besteht, ist dies so zu verstehen, dass man sich davor eine ${}0$ dazudenkt).