Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition

Dedekind-Peano-Axiome

Eine Menge ${}N$ mit einem ausgezeichneten Element  ${}0\in N$  (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung

$'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n',$

heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.

1. Das Element ${}0$ ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
2. Jedes  ${}n\in N$  ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
3. Für jede Teilmenge  ${}T\subseteq N$  gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
   •  ${}0\in T$, 
   • mit jedem Element
    ${}n\in T$  ist auch  ${}n'\in T$, 

gelten, so ist  ${}T=N$.