Natürliche Zahl/Zehnersystem/Potenzabschätzung/Fakt/Beweis2

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Beweis

Wenn die Zahl im Zehnersystem aus mehr als Ziffern besteht, so ist

mit

und

Nach Fakt ist dann

Wenn die Zahl aus maximal Ziffern besteht, so kann man sie als

mit schreiben. Aus Fakt folgt direkt

Wir zeigen durch Induktion über , dass diese Zahl kleiner als ist. Bei

ist

(nach Definition ist der Nachfolger von ). Im Induktionsschritt von nach folgt aus der Induktionsvoraussetzung wegen

die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage