Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Hilfseigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Die Gleichungen links und rechts sind unmittelbar klar, da der -te Nachfolger der gleich ist.
  2. Die Ausdrücke besagen prozesstheoretisch das gleiche: Links geht man von der Zahl aus und nimmt einmal öfters als -mal den Nachfolger. In der Mitte bestimmt man -fach den Nachfolger von und nimmt von diesem Ergebnis den Nachfolger. Rechts nimmt man von den Nachfolger und davon dann -fach den Nachfolger.
  3. Es ist

    für alle zu zeigen. Diese Gleichungen zeigen wir durch Induktion über für alle . Bei steht beidseitig nach Teil (1). Sei die Gleichheit nun für ein (und alle ) schon bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und Teil (2)

    die Gleichung gilt also auch für .

  4. Wir beweisen die Assoziativität, also die Gleichheit

    durch Induktion über (für alle gleichzeitig). Mit der Regel aus (2) und der Induktionsvoraussetzung ergibt sich direkt

  5. Die Abziehregel beweisen wir ebenfalls durch Induktion über . Der Fall

    ist klar. Sei also die Aussage für ein schon bewiesen und sei eine Gleichung der Form

    gegeben. Dann ist nach der Umlegungsregel auch

    Nach der Induktionsvoraussetzung ist somit

    Da die Nachfolgerabbildung injektiv ist, ergibt sich

Zur bewiesenen Aussage