Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutige Isomorphie/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt, angewendet auf $N_1$ und die Nachfolgerabbildung auf $N_2$, gibt es genau eine Abbildung

$\phi :N_1⟶N_2$

mit den angegebenen Eigenschaften. Wenn man die Rollen vertauscht, so erhält man eine eindeutige Abbildung

$\psi :N_2⟶N_1$

mit den gleichen Eigenschaften. Wir betrachten nun die Verknüpfung

$\psi \circ \phi :N_1⟶N_1.$

Diese erfüllt ebenfalls diese Eigenschaften. Da aber die Identität auf $N_1$ auch diese Eigenschaften erfüllt, folgt aus der Eindeutigkeitsaussage aus Fakt, dass  $\psi \circ \phi ={\mathrm{Id}}_{N_1}$  ist. Ebenso ist  $\phi \circ \psi ={\mathrm{Id}}_{N_2}$  und somit sind $\phi$ und $\psi$ invers zueinander.

Zur bewiesenen Aussage