Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutige Isomorphie/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt, angewendet auf ${}N_{1}$ und die Nachfolgerabbildung auf ${}N_{2}$, gibt es genau eine Abbildung

$\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2}$

mit den angegebenen Eigenschaften. Wenn man die Rollen vertauscht, so erhält man eine eindeutige Abbildung

$\psi \colon N_{2}\longrightarrow N_{1}$

mit den gleichen Eigenschaften. Wir betrachten nun die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{1}.$

Diese erfüllt ebenfalls diese Eigenschaften. Da aber die Identität auf ${}N_{1}$ auch diese Eigenschaften erfüllt, folgt aus der Eindeutigkeitsaussage aus Fakt, dass ${}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{N_{1}}$ ist. Ebenso ist ${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{N_{2}}$ und somit sind ${}\varphi$ und ${}\psi$ invers zueinander.

Zur bewiesenen Aussage