Natürliche Zahlen/Division mit Rest/Einführung/Textabschnitt
Jede natürliche Zahl lässt sich bekanntlich als eine Ziffernfolge „im Zehnersystem“ ausdrücken. Dies beruht auf der (sukzessiven) Division mit Rest. Eine positive natürliche Zahl ist nicht durch jede natürliche Zahl teilbar, die Division mit Rest liefert eine Operation, die stets durchführbar ist.
Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl.
Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit
Zur Existenz. Dies wird durch Induktion über bewiesen. Es sei fixiert. Der Induktionsanfang für ergibt sich direkt mit und . Für den Induktionsschluss sei die Aussage für bewiesen, d.h. wir haben eine Darstellung mit und müssen eine ebensolche Darstellung für finden. Wenn ist, so ist
und wegen ist dies eine gesuchte Darstellung. Ist hingegen , so ist
und dies ist eine gesuchte Darstellung.
Zur Eindeutigkeit. Sei
,
wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung
.
Dann gilt
.
Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als , links steht aber ein Vielfaches von , sodass die Differenz sein muss und die beiden Darstellungen übereinstimmen.
Bei der Division mit Rest nennt man auch Dividend und Divisor. Die Zahl nennt man Quotienten oder ganzzahligen Anteil
und den Rest.
Zu gegebenen natürlichen Zahlen mit findet man die Division mit Rest, also die Darstellung , indem man der Reihe nach die Vielfachen von betrachtet. Das größte Vielfache von (gleich oder) unterhalb von ist das gesuchte , insbesondere muss das nächste Vielfache sein. Der Rest ergibt sich dann als .
In der Schule verwendet man häufig eine Darstellung für die Division mit Rest wie
Dies ist in Hinblick auf die mathematische Weiterverarbeitung ungünstiger als die im Satz verwendete Gleichungsform.