Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Umlegungsregel/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien zwei Verknüpfungen $+$ und $\ast$ auf $\mathbb{N}$ gegeben, die beide diese charakteristischen Eigenschaften erfüllen. Es ist zu zeigen, dass dann diese beiden Verknüpfungen überhaupt übereinstimmen. Wir müssen also die Gleichheit

$x+y=x\ast y$

für alle $x,y\in \mathbb{N}$ beweisen. Dies machen wir durch Induktion über $y$ (für beliebige $x$). Bei

$y=0$

ist wegen

$x+0=x=x\ast 0$

die Aussage richtig. Es sei die Aussage nun für ein bestimmtes $y$ schon bewiesen. Dann ist mit der charakteristischen Eigenschaft und der Induktionsvoraussetzung

$x+y^{\prime }=x^{\prime }+y=x^{\prime }\ast y=x\ast y^{\prime }.$

Zur bewiesenen Aussage