Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Nachfolger rechts/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}\cdot$ und ${}\star$ zwei Verknüpfungen auf ${}\mathbb {N}$, die beide diese Eigenschaften erfüllen. Wir müssen

${}x\cdot y=x\star y\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {N}$ zeigen. Wir führen Induktion nach ${}y$. Der Induktionsanfang ist klar, da wegen der ersten charakteristischen Eigenschaft

${}x\cdot 0=0=x\star 0\,$

ist. Es sei die Aussage für ein gewisses ${}y$ schon bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der zweiten charakteristischen Eigenschaft

${}x\cdot y^{\prime }=x\cdot y+x=x\star y+x=x\star y^{\prime }\,.$

Zur bewiesenen Aussage