Natürliche Zahlen/GgT und KgV/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Seien natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt für .

Eine natürliche Zahl heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn unter allen gemeinsamen Teilern der der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.

Beispielsweise haben die Zahlen die gemeinsamen Teiler , und ist der größte gemeinsame Teiler.


Definition  

Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

Beispielsweise sind und teilerfremd, und sind nicht teilerfremd, da ein gemeinsamer Teiler ist. Die ist zu jeder natürlichen Zahl (auch zu und ) teilerfremd.


Definition  

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen

heißt eine natürliche Zahl ein gemeinsames Vielfaches, wenn ein Vielfaches von jedem ist, also von jedem geteilt wird.

Die Zahl heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der , wenn ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen der , das Kleinste ist.

Die Existenz eines größten gemeinsamen Teilers ist wegen Fakt klar. Die Existenz des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist ebenfalls klar, da das Produkt der Zahlen ein gemeinsames Vielfaches ist.