Natürliche Zahlen/GgT und KgV/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl ${}t$ gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt für ${}i=1,\ldots ,k$.

Eine natürliche Zahl ${}g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn ${}g$ unter allen gemeinsamen Teilern der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.

Beispielsweise haben die Zahlen ${}100,75,125$ die gemeinsamen Teiler ${}1,5,25$, und ${}25$ ist der größte gemeinsame Teiler.

Definition

Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler ${}\geq 2$ besitzen.

Beispielsweise sind ${}12$ und ${}25$ teilerfremd, ${}15$ und ${}25$ sind nicht teilerfremd, da ${}5$ ein gemeinsamer Teiler ist. Die ${}1$ ist zu jeder natürlichen Zahl (auch zu ${}0$ und ${}1$) teilerfremd.

Definition

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen

$a_{1},\ldots ,a_{n}$

heißt eine natürliche Zahl ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches, wenn ${}b$ ein Vielfaches von jedem ${}a_{i}$ ist, also von jedem ${}a_{i}$ geteilt wird.

Die Zahl ${}b$ heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen ${}\neq 0$ der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$, das Kleinste ist.

Die Existenz eines größten gemeinsamen Teilers ist wegen Fakt klar. Die Existenz des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist ebenfalls klar, da das Produkt der Zahlen ein gemeinsames Vielfaches ist.