Natürliche Zahlen/Ggt und kgV/Kommutativer Halbring/Aufgabe/Lösung

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  1. Die Kommutativität ist klar. Die ist das neutrale Element, da stets

    da ja jede Zahl die teilt und somit der größte Teiler von entscheidend ist, und bei der Wert des GgT nach Definition ist. Zum Nachweis der Assoziativität ist

    zu zeigen. Wenn eine der beteiligten Zahlen ist, so kommt links und rechts das gleiche heraus. Wir können also annehmen, dass alle Zahlen ungleich sind. Wenn die Zahlen durch ihre Primfaktorzerlegung gegeben sind, so ist der größte gemeinsame Teiler durch das Minimum der Exponenten gegeben. Da sich das Minimum assoziativ verhält, gilt auch für den GgT die Assoziativität.

  2. Die Kommutativität ist klar. Die ist das neutrale Element, da stets

    da ja jede Zahl ein Vielfaches der ist. Zum Nachweis der Assoziativität ist

    zu zeigen. Wenn eine der beteiligten Zahlen ist, so kommt links und rechts heraus, da das einzige Vielfache der ist. Wir können also annehmen, dass alle Zahlen ungleich sind. Wenn die Zahlen durch ihre Primfaktorzerlegung gegeben sind, so ist das kleinste gemeinsame Vielfache durch das Maximum der Exponenten gegeben. Da sich das Maximum assoziativ verhält, gilt auch für das KgV die Assoziativität.

  3. Es ist

    zu zeigen. Bei steht beidseitig , da das KgV der mit einer beliebigen Zahl stets ist. Bei (analog ) ergibt sich beidseitig . Wir können also annehmen, dass alle Zahlen ungleich sind. Da sowohl das GgT als auch das KgV aus der Primfaktorzerlegung ablesbar sind, können wir uns auf einen einzigen Primfaktor beschränken. Sei

    und

    Dann ist

    zu zeigen. Da die Aussage symmetrisch in und ist, können wir

    annehmen. Dann steht links das Maximum von und und rechts ist jedenfalls

    so dass das Minimum davon ebenfalls das Maximum von und ist.

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