Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Die zweite Gleichung ist klar, da unabhängig davon, wie oft die mit sich selbst addiert wird, stets herauskommt. Die erste Gleichung kann man als eine Konvention oder auch als Teil der Definition ansehen: Eine Summe, in der überhaupt keine Zahl vorkommt (die leere Summe), ist als zu interpretieren.
  2. Die erste Gleichung ist klar, der Ausdruck besagt einfach, dass die Zahl einmal dasteht. Die zweite Gleichung bedeutet, dass die -fache Addition der mit sich selbst gleich ist. Dies zeigen wir durch Induktion nach , wobei der Induktionsanfang (für ) klar ist. Sei die Aussage also schon für bewiesen. Der Unterschied zwischen und besteht darin, dass im zweiten Fall einmal mehr dasteht. Somit ist
  3. Die linke Gleichung ergibt sich unmittelbar aus der Definition. Die rechte Gleichung ergibt sich aus
  4. Die Kommutativität beweisen wir durch Induktion nach , und zwar beweisen wir die Behauptung

    für alle . Der Fall ist klar, da dann beidseitig steht. Sei die Gesamtaussage also für ein bestimmtes und beliebiges bereits bewiesen. Dann ist unter Verwendung von (3) und der Induktionsvoraussetzung

  5. Das Distributivgesetz

    beweisen wir durch Induktion nach für beliebige . Der Fall ist klar, da beidseitig rauskommt. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und Teil (3) ergibt sich

  6. Das Assoziativitätsgesetz beweisen wir durch Induktion nach dem ersten Faktor (wobei der Induktionsanfang wieder klar ist) unter Verwendung des Distributivgesetzes und Teil (3).
Zur bewiesenen Aussage