Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die zweite Gleichung ist klar, da unabhängig davon, wie oft die ${}0$ mit sich selbst addiert wird, stets ${}0$ herauskommt. Die erste Gleichung kann man als eine Konvention oder auch als Teil der Definition ansehen: Eine Summe, in der überhaupt keine Zahl vorkommt (die leere Summe), ist als ${}0$ zu interpretieren.
2. Die erste Gleichung ist klar, der Ausdruck ${}1\cdot n$ besagt einfach, dass die Zahl ${}n$ einmal dasteht. Die zweite Gleichung bedeutet, dass die ${}n$-fache Addition der ${}1$ mit sich selbst gleich ${}n$ ist. Dies zeigen wir durch Induktion nach ${}n$, wobei der Induktionsanfang (für ${}n=0,1$) klar ist. Es sei die Aussage also schon für ${}n$ bewiesen. Der Unterschied zwischen ${}n\cdot 1$ und ${}n^{\prime }\cdot 1$ besteht darin, dass im zweiten Fall einmal mehr ${}+1$ dasteht. Somit ist

   ${}n^{\prime }\cdot 1=n\cdot 1+1=n+1=n^{\prime }\,.$

3. Die linke Gleichung ergibt sich unmittelbar aus der Definition. Die rechte Gleichung ergibt sich aus

   ${}{\begin{aligned}n\cdot k^{\prime }&=\underbrace {k^{\prime }+\cdots +k^{\prime }} _{n{\text{-mal}}}\\&=\underbrace {(k+1)+\cdots +(k+1)} _{n{\text{-mal}}}\\&=\underbrace {k+\cdots +k} _{n{\text{-mal}}}+\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{-mal}}}\\&=n\cdot k+n.\end{aligned}}$

4. Die Kommutativität beweisen wir durch Induktion nach ${}k$, und zwar beweisen wir die Behauptung

   ${}n\cdot k=k\cdot n\,$

   für alle ${}n$. Der Fall ${}k=0$ ist klar, da dann beidseitig ${}0$ steht. Es sei die Gesamtaussage also für ein bestimmtes ${}k$ und beliebiges ${}n$ bereits bewiesen. Dann ist unter Verwendung von (3) und der Induktionsvoraussetzung

   ${}n\cdot k^{\prime }=n\cdot k+n=k\cdot n+n=k^{\prime }\cdot n\,.$

5. Das Distributivgesetz

   ${}k\cdot (m+n)=k\cdot m+k\cdot n\,$

   beweisen wir durch Induktion nach ${}k$ für beliebige ${}m,n$. Der Fall ${}k=0$ ist klar, da beidseitig ${}0$ rauskommt. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und Teil (3) ergibt sich

   ${}{\begin{aligned}k^{\prime }\cdot (m+n)&=k\cdot (m+n)+m+n\\&=k\cdot m+k\cdot n+m+n\\&=k\cdot m+m+k\cdot n+n\\&=k^{\prime }\cdot m+k^{\prime }\cdot n.\end{aligned}}$

6. Das Assoziativitätsgesetz beweisen wir durch Induktion nach dem ersten Faktor (wobei der Induktionsanfang wieder klar ist) unter Verwendung des Distributivgesetzes und Teil (3).

   ${}{\begin{aligned}k^{\prime }\cdot (m\cdot n)&=k\cdot (m\cdot n)+m\cdot n\\&=(k\cdot m)\cdot n+m\cdot n\\&=(k\cdot m+m)\cdot n\\&=(k^{\prime }\cdot m)\cdot n.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage