Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir behaupten, dass die Abbildung

$\psi \colon \{1,\ldots ,m\}\times {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,mn\},\,(i,j)\longmapsto (i-1)n+j,$

bijektiv ist. Zum Beweis der Surjektivität sei ${}z\in \{1,2,\ldots ,mn\}$ vorgegeben. Dieses (ganzzahlige) Intervall kann man in die disjunkten Intervalle

$\{1,\ldots ,n\}\cup \{n+1,\ldots ,2n\}\cup \{2n+1,\ldots ,3n\}\cup \ldots \cup \{(m-1)n+1,\ldots ,mn\}$

unterteilen. Das Element ${}z$ gehört somit zu einem dieser Intervalle, d.h. es gibt ein ${}i$ mit

${}z\in \{(i-1)n+1,\ldots ,in\}\,$

mit ${}i$ zwischen ${}1$ und ${}m$. Dann ist

${}z=(i-1)n+j\,$

mit einem ${}j$ zwischen ${}1$ und ${}n$ und gehört somit zum Bild. Zum Beweis der Injektivität seien

${}(i,j),(k,\ell )\in \{1,\ldots ,m\}\times {\{1,\ldots ,n\}}\,$

gegeben, die auf das gleiche Element abbilden. Es gilt also

${}(i-1)n+j=(k-1)n+\ell \,.$

Da ${}j$ und ${}\ell$ beide zu ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ gehören, sind die Summen jeweils maximal gleich ${}in$ bzw. ${}kn$. Daher können die Zahlen nur dann gleich sein, wenn

${}i=k\,$

und dann nach der Abziehregel auch

${}j=\ell \,$

ist.

Zur bewiesenen Aussage