Beweis
Wir behaupten, dass die Abbildung
-
bijektiv ist. Zum Beweis der Surjektivität sei
vorgegeben. Dieses
(ganzzahlige)
Intervall kann man in die
disjunkten
Intervalle
-
unterteilen. Das Element
gehört somit zu einem dieser Intervalle, d.h. es gibt ein
mit
-

mit
zwischen
und
.
Dann ist
-

mit einem
zwischen
und
und gehört somit zum Bild. Zum Beweis der Injektivität seien
-

gegeben, die auf das gleiche Element abbilden. Es gilt also
-

Da
und
beide zu
gehören, sind die Summen jeweils maximal gleich
bzw.
.
Daher können die Zahlen nur dann gleich sein, wenn
-

und dann
nach der Abziehregel
auch
-

ist.