Beweis
Wir behaupten, dass die Abbildung
-
bijektiv ist. Zum Beweis der Surjektivität sei
vorgegeben. Dieses
(ganzzahlige)
Intervall kann man in die
disjunkten
Intervalle
-
unterteilen. Das Element
gehört somit zu einem dieser Intervalle, d.h. es gibt ein
mit
-
![{\displaystyle {}z\in \{(i-1)n+1,\ldots ,in\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b99d85786c611903dc648c8b937e3a7794b515a)
mit
zwischen
und
.
Dann ist
-
![{\displaystyle {}z=(i-1)n+j\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c8d5afc3bc94218ceb7faaaed866da3a10ee3e)
mit einem
zwischen
und
und gehört somit zum Bild. Zum Beweis der Injektivität seien
-
![{\displaystyle {}(i,j),(k,\ell )\in \{1,\ldots ,m\}\times {\{1,\ldots ,n\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d394bee22dac4f160f72ad287b6334a499a84b)
gegeben, die auf das gleiche Element abbilden. Es gilt also
-
![{\displaystyle {}(i-1)n+j=(k-1)n+\ell \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e6522cdb4ca53fd2d8551e84889daa5fd5b0b1)
Da
und
beide zu
gehören, sind die Summen jeweils maximal gleich
bzw.
.
Daher können die Zahlen nur dann gleich sein, wenn
-
![{\displaystyle {}i=k\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd776faa85929c94c6ca3ceb047bf02d92f1105)
und dann
nach der Abziehregel
auch
-
![{\displaystyle {}j=\ell \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54f17e4ac2644f9a9654d2c7c0d87b5813a10a2)
ist.