Zum Inhalt springen

Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Bijektion der Nachfolgermengen/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Beweis

Zunächst landet die Abbildung in der angegebenen Menge. Es sei hierzu . Dann ist nach Fakt oder . Im ersten Fall ist , im zweiten Fall folgt diese Zugehörigkeit aus der induktiven Abgeschlossenheit von .

Die Abbildung ist injektiv, da sie eine Einschränkung der aufgrund der Peanoaxiome injektiven Nachfolgerabbildung ist. Es sei das Bild der Abbildung. Es ist . Ferner ist induktiv abgeschlossen. Für ein Element gibt es ja ein mit . Dann gehört aber ebenfalls zu , da ist. Daher muss gelten und die Abbildung muss surjektiv sein.