Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Zusammenhang geq k und Nachfolger/Fakt/Beweis

Beweis

Für die Inklusion ${}\supseteq$ ist einerseits ${}k\in N_{\geq k}$. Da ${}N_{\geq k}$ induktiv abgeschlossen ist, gilt auch ${}k'\in N_{\geq k}$ und damit nach Fakt auch ${}N_{\geq k'}\subseteq N_{\geq k}$. Für die andere Inklusion zeigen wir, dass ${}T=N_{\geq k'}\cup \{k\}$ induktiv abgeschlossen ist. Es sei dazu ${}x\in T$. Bei ${}x=k$ ist ${}x'=k'\in N_{\geq k'}\subseteq T$. Andernfalls ist ${}x\in N_{\geq k'}$ und da diese Menge induktiv abgeschlossen ist, folgt ${}x'\in N_{\geq k'}\subseteq T$. Damit ist die rechte Seite induktiv abgeschlossen und enthält ${}k$, also kommt sie im Durchschnitt, der ${}N_{\geq k}$ ergibt, vor, also gilt auch die andere Inklusion.

Zur bewiesenen Aussage