Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Zusammenhang geq k und Nachfolger/Fakt/Beweis

Beweis

Für die Inklusion $\supseteq$ ist einerseits $k\in N_{\ge k}$. Da $N_{\ge k}$ induktiv abgeschlossen ist, gilt auch $k^{\prime }\in N_{\ge k}$ und damit nach Fakt auch $N_{\ge k^{\prime }}\subseteq N_{\ge k}$. Für die andere Inklusion zeigen wir, dass $T=N_{\ge k^{\prime }}\cup \{k\}$ induktiv abgeschlossen ist. Es sei dazu $x\in T$. Bei $x=k$ ist $x^{\prime }=k^{\prime }\in N_{\ge k^{\prime }}\subseteq T$. Andernfalls ist $x\in N_{\ge k^{\prime }}$ und da diese Menge induktiv abgeschlossen ist, folgt $x^{\prime }\in N_{\ge k^{\prime }}\subseteq T$. Damit ist die rechte Seite induktiv abgeschlossen und enthält $k$, also kommt sie im Durchschnitt, der $N_{\ge k}$ ergibt, vor, also gilt auch die andere Inklusion.

Zur bewiesenen Aussage