Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir verwenden die Charakterisierung mit der Addition. Wegen ist . Wenn und ist, so bedeutet dies, dass es natürliche Zahlen mit und gibt. Dann gilt insgesamt

und somit ist auch . Aus und ergibt sich und und somit . Dies ist nach der Abziehregel nur bei möglich, und dies ist wiederum, da kein Nachfolger ist, nur bei möglich. Die Aussage oder beweisen wir durch Induktion über (für jedes feste ), wobei der Induktionsanfang wegen klar ist. Die Aussage gelte also für ein bestimmtes . Wenn die erste Möglichkeit gilt, also , so gilt wegen

erst recht . Wenn die zweite Möglichkeit gilt, also , so gibt es zwei Möglichkeiten. Bei ist und die Gesamtaussage gilt für . Andernfalls ist und somit ist nach Fakt  (3) und die Gesamtaussage gilt erneut.

Zur bewiesenen Aussage