Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Beweis

Beweis

1. Wir beweisen die Aussagen mit Fakt. Nach Voraussetzung gibt es ein  ${}m\in \mathbb {N}$  mit  ${}a=b+m$.  Dann ist auch  ${}a=b+m$.   ${}a+c=b+m+c=b+c+m$,  was  ${}a+c\geq b+c$  bedeutet.
2. Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert

   ${}a+c\geq b+c\geq b+d\,,$

   sodass die Transitivität den Schluss ergibt.

3. Die Voraussetzung bedeutet wieder  ${}a=b+m$  mit einem  ${}m\in \mathbb {N}$.  Dann ist mit dem Distributivgesetz

   ${}ca=c(b+m)=cb+cm\,,$

   also  ${}ca\geq cm$. 

4. Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich

   ${}ac\geq bc\geq bd\,.$

5. Sei  ${}c\geq 1$.  Wir beweisen die Kontraposition, dass aus der Größerbeziehung  ${}b>a$  die Größerbeziehung  ${}bc>ac$  folgt. Es sei also  ${}b>a$.  Dann ist  ${}b\geq a+1$  und somit ist nach Teil (3) und Teil (2)

   ${}bc\geq (a+1)c=ac+c\geq ac+1\,,$

   also  ${}bc>ac$. 

Zur bewiesenen Aussage