Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Beweis2

Beweis

1. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $c$. Bei  $c=0$  ist die Aussage klar. Für den Induktionsschritt müssen wir lediglich zeigen, dass die Aussage für  $c=1$  gilt. Bei  $a=b$  ist die Aussage klar, da der Nachfolger wohldefiniert ist. Bei  $a>b$  ist nach Fakt  (3)  $a\ge b+1$  und somit

   $a+1>a\ge b+1.$

   Dies zeigt zugleich, dass aus  $a>b$  auch  $a+1>b+1$  folgt. Da die Ordnung total ist, folgt somit auch aus  $a+1\ge b+1$  die Beziehung  $a\ge b$. 

2. Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert

   $a+c\ge b+c\ge b+d,$

   sodass die Transitivität den Schluss ergibt.

3. Wir führen Induktion nach $c$, die Fälle  $c=0,1$  sind klar. Es sei die Aussage für $c$ bewiesen. Dann ist mit dem Distributivgesetz, der Induktionsvoraussetzung und Teil (2)

   $(c+1)a=ca+a\ge cb+b=(c+1)b.$

4. Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich

   $ac\ge bc\ge bd.$

5. Sei  $c\ge 1$.  Wir beweisen die Kontraposition, dass aus der Größerbeziehung  $b>a$  die Größerbeziehung  $bc>ac$  folgt. Sei also  $b>a$.  Dann ist  $b\ge a+1$  und somit ist nach Teil (3) und Teil (2)

   $bc\ge (a+1)c=ac+c\ge ac+1,$

   also  $bc>ac$. 

Zur bewiesenen Aussage