Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Beweis2

Beweis

1. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}c$. Bei ${}c=0$ ist die Aussage klar. Für den Induktionsschritt müssen wir lediglich zeigen, dass die Aussage für ${}c=1$ gilt. Bei ${}a=b$ ist die Aussage klar, da der Nachfolger wohldefiniert ist. Bei ${}a>b$ ist nach Fakt  (3) ${}a\geq b+1$ und somit

   ${}a+1>a\geq b+1\,.$

   Dies zeigt zugleich, dass aus ${}a>b$ auch ${}a+1>b+1$ folgt. Da die Ordnung total ist, folgt somit auch aus ${}a+1\geq b+1$ die Beziehung ${}a\geq b$.

2. Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert

   ${}a+c\geq b+c\geq b+d\,,$

   sodass die Transitivität den Schluss ergibt.

3. Wir führen Induktion nach ${}c$, die Fälle ${}c=0,1$ sind klar. Es sei die Aussage für ${}c$ bewiesen. Dann ist mit dem Distributivgesetz, der Induktionsvoraussetzung und Teil (2)

   ${}(c+1)a=ca+a\geq cb+b=(c+1)b\,.$

4. Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich

   ${}ac\geq bc\geq bd\,.$

5. Sei ${}c\geq 1$. Wir beweisen die Kontraposition, dass aus der Größerbeziehung ${}b>a$ die Größerbeziehung ${}bc>ac$ folgt. Sei also ${}b>a$. Dann ist ${}b\geq a+1$ und somit ist nach Teil (3) und Teil (2)

   ${}bc\geq (a+1)c=ac+c\geq ac+1\,,$

   also ${}bc>ac$.

Zur bewiesenen Aussage