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Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Beweis2

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Beweis
  1. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Bei ist die Aussage klar. Für den Induktionsschritt müssen wir lediglich zeigen, dass die Aussage für gilt. Bei ist die Aussage klar, da der Nachfolger wohldefiniert ist. Bei ist nach Fakt  (3) und somit

    Dies zeigt zugleich, dass aus auch folgt. Da die Ordnung total ist, folgt somit auch aus die Beziehung .

  2. Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert

    so dass die Transitivität den Schluss ergibt.

  3. Wir führen Induktion nach , die Fälle sind klar. Es sei die Aussage für bewiesen. Dann ist mit dem Distributivgesetz, der Induktionsvoraussetzung und Teil (2)
  4. Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich
  5. Sei . Wir beweisen die Kontraposition, dass aus der Größerbeziehung die Größerbeziehung folgt. Sei also . Dann ist und somit ist nach Teil (3) und Teil (2)

    also .