Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Beweis2

Beweis

1. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}c$. Bei  ${}c=0$  ist die Aussage klar. Für den Induktionsschritt müssen wir lediglich zeigen, dass die Aussage für  ${}c=1$  gilt. Bei  ${}a=b$  ist die Aussage klar, da der Nachfolger wohldefiniert ist. Bei  ${}a>b$  ist nach Fakt  (3)  ${}a\geq b+1$  und somit

   ${}a+1>a\geq b+1\,.$

   Dies zeigt zugleich, dass aus  ${}a>b$  auch  ${}a+1>b+1$  folgt. Da die Ordnung total ist, folgt somit auch aus  ${}a+1\geq b+1$  die Beziehung  ${}a\geq b$. 

2. Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert

   ${}a+c\geq b+c\geq b+d\,,$

   sodass die Transitivität den Schluss ergibt.

3. Wir führen Induktion nach ${}c$, die Fälle  ${}c=0,1$  sind klar. Es sei die Aussage für ${}c$ bewiesen. Dann ist mit dem Distributivgesetz, der Induktionsvoraussetzung und Teil (2)

   ${}(c+1)a=ca+a\geq cb+b=(c+1)b\,.$

4. Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich

   ${}ac\geq bc\geq bd\,.$

5. Sei  ${}c\geq 1$.  Wir beweisen die Kontraposition, dass aus der Größerbeziehung  ${}b>a$  die Größerbeziehung  ${}bc>ac$  folgt. Sei also  ${}b>a$.  Dann ist  ${}b\geq a+1$  und somit ist nach Teil (3) und Teil (2)

   ${}bc\geq (a+1)c=ac+c\geq ac+1\,,$

   also  ${}bc>ac$. 

Zur bewiesenen Aussage