Natürliche Zahlen/Peano/Ziffernmodell/10/Beispiel

Wir stellen ein Ziffernmodell (10er Modell) für die natürlichen Zahlen vor, das die Peanoaxiome erfüllt. Das Modell beruht auf endlichen Symbolketten, wobei die zugrunde gelegte Symbolmenge die Ziffernmenge

$Z=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

ist. In diesem Modell ist eine natürliche Zahl eine endliche, nichtleere Hintereinanderreihung von Ziffern aus ${}Z$, deren erste Ziffer von der Ziffer ${}0$ verschieden ist, es sei denn, die Gesamtkette ist die ${}0$-Kette, die aus der einzigen Ziffer ${}0$ besteht. Zwei solche Zahlen sind genau dann gleich, wenn die Ziffernfolgen an jeder Ziffer übereinstimmen. Die ${}0$-Kette ist das ausgezeichnete Element.

Die Festlegung der Nachfolgerabbildung erfordert einige Vorbereitungen. Zunächst wird eine Abbildung

$Z\setminus \{9\}\longrightarrow Z,\,z\longmapsto {\tilde {z}},$

durch

${\tilde {0}}=1,{\tilde {1}}=2,{\tilde {2}}=3,{\tilde {3}}=4,{\tilde {4}}=5,{\tilde {5}}=6,{\tilde {6}}=7,{\tilde {7}}=8,{\tilde {8}}=9$

definiert. Ferner setzten wir ${}{\tilde {\emptyset }}=1$. Weiter wird auf der Menge der Ziffernfolgen, in denen ausschließlich die Ziffer ${}9$ vorkommt (wobei die leere Ziffernfolge zugelassen ist) die Abbildung ${}c\mapsto {\bar {c}}$ dadurch definiert, dass jede ${}9$ durch eine ${}0$ ersetzt wird. Man kann nun jede erlaubte endliche Ziffernfolge ${}z$ eindeutig schreiben als die Verkettung ${}z=abc$, wobei ${}c$ eine reine (eventuell leere) Neunerfolge ist, ${}b$ eine einzelne Ziffer ${}\neq 9$ oder leer ist, und ${}a$ eine beliebige endliche (eventuell leere) Ziffernfolge ist, die leer sein muss, wenn auch ${}b$ leer ist. Mit diesen Vorbereitungen definieren wir die Nachfolgerabbildung durch

$z':=(abc)':=a{\tilde {b}}{\bar {c}}.$