Natürliche Zahlen/Potenzen/Potenz im Exponent/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion nach ${}k$ (für beliebiges ${}a,n$). Bei

${}k=1\,$

steht links

${}a^{(n^{1})}=a^{n}\,$

und rechts steht die einfache Potenzierung ${}a^{n}$, das stimmt also überein. Zum Induktionsschluss nehmen wir an, dass die Aussage für ein bestimmtes ${}k$ schon bewiesen sei und wir müssen die entsprechende Aussage für ${}k+1$ zeigen. Unter Verwendung von Fakt und der Induktionsvorausetzung ist

${}a^{(n^{k+1})}=a^{(n^{k}\cdot n)}={\left(a^{(n^{k})}\right)}^{n}={\left(\underbrace {{\left({\left(\ldots {\left({\left(a^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}\ldots \right)}^{n}\right)}^{n}} _{k{\text{ Potenzierungen}}}\right)}^{n}=\underbrace {{\left({\left({\left(\ldots {\left({\left(a^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}\ldots \right)}^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}} _{k+1{\text{ Potenzierungen}}}\,,$

was den Induktionsschritt beweist. Nach dem Induktionsprinzip ist die Aussage allgemein bewiesen.

Zur gelösten Aufgabe