Natürliche Zahlen/Zählmaß/L^2-Raum/Beispiel

Wir betrachten die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ als Maßraum mit dem Zählmaß, siehe Beispiel und Beispiel. Der zugehörige Raum der quadratsummierbaren Folgen besitzt das Skalarprodukt

${}\left\langle f,g\right\rangle =\sum _{n\in \mathbb {N} }f_{n}{\overline {g_{n}}}\,,$

die Norm eines Elementes ist

${}\Vert {f}\Vert ={\sqrt {\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {f_{n}}\vert ^{2}}}\,.$

Dieser Hilbertraum wird mit ${}l_{2}$ oder mit ${}L^{2}(\mathbb {N} )$ bezeichnet, man spricht vom Hilbertschen Folgenraum.