Natürliche Zahlen/Zählmaß/L^p-Raum/Beispiel

Wir betrachten die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ als Maßraum mit dem Zählmaß. Die Funktionen

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow {\mathbb {K} }$

sind einfach die ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Folgen, diese sind automatisch messbar. Die ${}p$-Integierbarkeit ist in diesem Fall einfach die ${}p$-Summierbarkeit, es geht also um diejenigen Folgen ${}f$, für die

${}\Vert {f}\Vert _{p}=\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {f_{n}}\vert ^{p}<\infty \,$

gilt. Die ${}f_{n}$ sind von daher eher als Reihenglieder denn als Folgenglieder anzusehen. Für ${}p=1$ handelt es sich um die absolute Konvergenz der Reihe bzw. schlicht um die Summierbarkeit, für ${}p=2$ spricht man von quadratsummierbaren Folgen. Die harmonische Reihe ist nicht summierbar, aber ${}2$-summierbar und sogar ${}p$-summierbar für jedes ${}p>1$.