Nebenbedingung/Ellipse/3x^2+2y^2 ist 1/3x-7y/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Fakt mit ${}f(x,y)=3x^{2}+2y^{2}$ und der Linearform ${}h(x,y)=3x-7y$. Die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum führt auf

${}{\begin{pmatrix}6x\\4y\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}\,.$

Dies bedeutet ${}x={\frac {1}{2}}\lambda$ und ${}y=-{\frac {7}{4}}\lambda$. Einsetzen in die Gleichung für ${}f$ liefert

${}{\begin{aligned}1&=3{\left({\frac {1}{2}}\lambda \right)}^{2}+2{\left(-{\frac {7}{4}}\lambda \right)}^{2}\\&={\left({\frac {3}{4}}+{\frac {49}{8}}\right)}\lambda ^{2}\\&={\frac {55}{8}}\lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Also ist

${}\lambda _{1,2}=\pm {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {55}}}\,.$

Es seien

$P_{1}=(x_{1},y_{1})=\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {55}}},\,-{\frac {7}{4}}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {55}}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,P_{2}=(x_{2},y_{2})=\left(-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {55}}},\,{\frac {7}{4}}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {55}}}\right)$

die zugehörigen Punkte, an denen ein lokales Extremum vorliegen kann. Wegen ${}h(P_{1})>0$ und ${}h(P_{2})<0$ liegt wegen der Kompaktheit der Ellipse in ${}P_{1}$ das globale Maximum und in ${}P_{2}$ das globale Minimum vor.

Zur gelösten Aufgabe