Extrema/Nebenbedingung/Linearform als Zielfunktion/Fakt

Es sei  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine offene Teilmenge, sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und sei  ${}M=f^{-1}(b)$  die Faser von ${}f$ über  ${}b\in \mathbb {R}$.  Es sei ${}h$ eine Linearform auf ${}\mathbb {R} ^{n}$, deren Einschränkung ${}h{|}_{M}$ auf ${}M$ im (zu ${}f$) regulären Punkt  ${}a\in M$  ein lokales Extremum besitze.

Dann ist ${}h$ ein Vielfaches von ${}\left(Df\right)_{a}$, d.h. es gibt ein  ${}\lambda \in \mathbb {R}$  mit

${}h=\lambda \left(Df\right)_{a}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen