Extrema/Nebenbedingung/Linearform als Zielfunktion/Fakt

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge, sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und sei ${}M=f^{-1}(b)$ die Faser von ${}f$ über ${}b\in \mathbb {R}$. Es sei ${}h$ eine Linearform auf ${}\mathbb {R} ^{n}$, deren Einschränkung ${}h{|}_{M}$ auf ${}M$ im (zu ${}f$) regulären Punkt ${}a\in M$ ein lokales Extremum besitze.

Dann ist ${}h$ ein Vielfaches von ${}\left(Df\right)_{a}$, d.h. es gibt ein ${}\lambda \in \mathbb {R}$ mit

${}h=\lambda \left(Df\right)_{a}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen