Jede Gerade in der Ebene wird durch eine Gleichung der Form
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![{\displaystyle {}ax+by=c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928fd74750b7d803ccc0bc697e4b3906cdfddd8d)
beschrieben, wobei
nicht beide gleich
sind. Wenn die gerade durch den Punkt
läuft, so ist
.
Wenn
ist, so ist die Gerade durch
gegeben, und es gibt noch den weiteren Schnittpunkt
. Es sei also
.
Dann können wir die Geradengleichung nach
auflösen und erhalten
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![{\displaystyle {}y=rx+s\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1897b65f525bdd126a00dd0d9502dc28ed1269e0)
mit
.
Auf einer solchen Geraden wird die Kurvengleichung zu
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=y^{2}-x^{3}\\&=(rx+(1-r))^{2}-x^{3}\\&=-x^{3}+r^{2}x^{2}+2r(1-r)x+(1-r)^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d1dde6f5770f9b99b50c644a47a7bc2f60bbf4)
Da
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![{\displaystyle {}x=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6ca9900feb4fdeafcd576700d919fc10af0d08)
eine Nullstelle davon ist, können wir
ausklammern, und zwar ist
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![{\displaystyle {}-x^{3}+r^{2}x^{2}+2r(1-r)x+(1-r)^{2}=(x-1){\left(-x^{2}-(1-r^{2})x-(1-r)^{2}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b13a3ac3bf3cd4cd6b6548451ddcc9e006979a)
Der rechte Faktor ist ein normiertes Polynom vom Grad
, hat also über
weitere Nullstellen. Wir müssen zeigen, dass mindestens eine weitere Nullstelle nicht
ist. Wenn man im rechten Faktor
einsetzt, so erhält man
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![{\displaystyle {}-1-(1-r^{2})-(1-r)^{2}=-3+r^{2}+2r-r^{2}=2r-3\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d25d2b4ef66186c508295af0b5a2f7075ab5685)
Bei
kann also
keine Nullstelle sein. Es sei also
.
In diesem Fall ist
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![{\displaystyle {}x^{2}+(1-r^{2})x+(1-r)^{2}=x^{2}-{\frac {5}{4}}x+{\frac {1}{4}}=(x-1){\left(x-{\frac {1}{4}}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3663369782b14599bacd0e75d3c173e1212ebb5)
und somit gibt es eine weitere Nullstelle.