Neilsche Parabel/(1,1)/Gerade trifft/Aufgabe/Lösung

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Jede Gerade in der Ebene wird durch eine Gleichung der Form

beschrieben, wobei nicht beide gleich sind. Wenn die gerade durch den Punkt läuft, so ist . Wenn ist, so ist die Gerade durch gegeben, und es gibt noch den weiteren Schnittpunkt . Es sei also . Dann können wir die Geradengleichung nach auflösen und erhalten

mit . Auf einer solchen Geraden wird die Kurvengleichung zu

Da

eine Nullstelle davon ist, können wir ausklammern, und zwar ist

Der rechte Faktor ist ein normiertes Polynom vom Grad , hat also über weitere Nullstellen. Wir müssen zeigen, dass mindestens eine weitere Nullstelle nicht ist. Wenn man im rechten Faktor einsetzt, so erhält man

Bei kann also keine Nullstelle sein. Es sei also . In diesem Fall ist

und somit gibt es eine weitere Nullstelle.