Neilsche Parabel/(1,1)/Gerade trifft/Aufgabe/Lösung

Jede Gerade in der Ebene wird durch eine Gleichung der Form

${}ax+by=c\,$

beschrieben, wobei ${}a,b$ nicht beide gleich ${}0$ sind. Wenn die gerade durch den Punkt ${}(1,1)$ läuft, so ist ${}a+b=c$. Wenn ${}b=0$ ist, so ist die Gerade durch ${}x=1$ gegeben, und es gibt noch den weiteren Schnittpunkt ${}(1,-1)$. Es sei also ${}b\neq 0$. Dann können wir die Geradengleichung nach ${}y$ auflösen und erhalten

${}y=rx+s\,$

mit ${}s=1-r$. Auf einer solchen Geraden wird die Kurvengleichung zu

${}{\begin{aligned}0&=y^{2}-x^{3}\\&=(rx+(1-r))^{2}-x^{3}\\&=-x^{3}+r^{2}x^{2}+2r(1-r)x+(1-r)^{2}.\end{aligned}}$

Da

${}x=1\,$

eine Nullstelle davon ist, können wir ${}x-1$ ausklammern, und zwar ist

${}-x^{3}+r^{2}x^{2}+2r(1-r)x+(1-r)^{2}=(x-1){\left(-x^{2}-(1-r^{2})x-(1-r)^{2}\right)}\,.$

Der rechte Faktor ist ein normiertes Polynom vom Grad ${}2$, hat also über ${}{\mathbb {C} }$ weitere Nullstellen. Wir müssen zeigen, dass mindestens eine weitere Nullstelle nicht ${}1$ ist. Wenn man im rechten Faktor ${}x=1$ einsetzt, so erhält man

${}-1-(1-r^{2})-(1-r)^{2}=-3+r^{2}+2r-r^{2}=2r-3\,.$

Bei ${}r\neq {\frac {3}{2}}$ kann also ${}1$ keine Nullstelle sein. Es sei also ${}r={\frac {3}{2}}$. In diesem Fall ist

${}x^{2}+(1-r^{2})x+(1-r)^{2}=x^{2}-{\frac {5}{4}}x+{\frac {1}{4}}=(x-1){\left(x-{\frac {1}{4}}\right)}\,$

und somit gibt es eine weitere Nullstelle.

Zur gelösten Aufgabe