Wir betrachten den injektiven Ringhomomorphismus
mit
und
. Das Erweiterungsideal zu
ist
-
![{\displaystyle {}(T^{2}-1,T^{3}-1)=(T-1)(T+1),(T-1)(T^{2}+T+1))\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10332440b9af8a215a713a5ec2f5e5f39416b0f)
Als Radikal ist dies
, da
die einzige gemeinsame Nullstelle der beiden Polynome ist
(Hilbertscher Nullstellensatz; hier gilt aber auch Idealgleichheit).
Wenn das Ideal
durch eine einzige Funktion
bis auf Radikal beschrieben wird, so gilt dies auch in
, und dies bedeutet
-
![{\displaystyle {}\varphi (f)=(T-1)^{n}=\pm 1^{n}\pm nT\pm \cdots +T^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73f904deeb6df15f8b29c0b37e6867c2e7d7e1d)
für ein
. In
besitzt aber
die Gestalt
-
![{\displaystyle {}\varphi (f)=a_{0}+a_{2}T^{2}+a_{3}T^{3}+\cdots +a_{d}T^{d}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c51513c392e927e05460be46010e6232013ebc01)
Dies kann also nicht übereinstimmen.