Neilsche Parabel/(1,1)/Radikalbeschreibung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den injektiven Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow {\mathbb {C} }[T]$ mit ${}X\mapsto T^{2}$ und ${}Y\mapsto T^{3}$. Das Erweiterungsideal zu ${}(X-1,Y-1)$ ist

${}(T^{2}-1,T^{3}-1)=(T-1)(T+1),(T-1)(T^{2}+T+1))\,.$

Als Radikal ist dies ${}(T-1)$, da ${}1$ die einzige gemeinsame Nullstelle der beiden Polynome ist (Hilbertscher Nullstellensatz; hier gilt aber auch Idealgleichheit). Wenn das Ideal ${}(X-1,Y-1)$ durch eine einzige Funktion ${}f\in R$ bis auf Radikal beschrieben wird, so gilt dies auch in ${}{\mathbb {C} }[T]$, und dies bedeutet

${}\varphi (f)=(T-1)^{n}=\pm 1^{n}\pm nT\pm \cdots +T^{n}\,$

für ein ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. In ${}{\mathbb {C} }[T]$ besitzt aber ${}f$ die Gestalt

${}\varphi (f)=a_{0}+a_{2}T^{2}+a_{3}T^{3}+\cdots +a_{d}T^{d}\,.$

Dies kann also nicht übereinstimmen.

Zur gelösten Aufgabe