Neilsche Parabel/Assoziierter graduierter Ring/Beispiel

Zum Ring der Neilschen Parabel, also zu  $R=K[X,Y]/(X^2-Y^3)$  mit dem maximalen Ideal  $𝔪=(X,Y)$,  kann man den assoziierten graduierten Ring wie folgt berechnen. Es gibt eine surjektive Abbildung

$\phi :K[S,T]⟶{\mathrm{Gr}}_{𝔪}R,$

die $S$ auf die Restklasse von $X$ und $T$ auf die Restklasse von $Y$ in $𝔪/{𝔪}^2$ abbildet. Dabei ist

$\phi \left(S^2\right)=[X{]}^2=[X^2]=[Y^3]=0,$

da ja die dritte Potenz von $Y$ zu ${𝔪}^3$ gehört. Da die Monome $X^i{Y}^j$ mit  $i=0,1$  nicht in einer höheren Potenz liegen, hat man die Isomorphie

$K[S,T]/\left(S^2\right)\cong {\mathrm{Gr}}_{𝔪}R.$

Insbesondere ist der assoziierte graduierte Ring nicht reduziert, obwohl $R$ ein Integritätsbereich ist.