Neilsche Parabel/R/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe/Kommentar

Wir können durch Einsetzen direkt nachrechnen, dass die Bildpunkte der Kurve die beschreibende Gleichung ${}x^{3}=y^{2}$ erfüllen, denn es gilt ${}(t^{2})^{3}=t^{6}=(t^{3})^{2}$. Das bedeutet, dass jeder Bildpunkt in der Menge derjenigen Punkte enthalten ist, für die ${}x^{3}=y^{2}$ gilt.

Umgekehrt können wir sehen, dass auch jeder Punkt, für den ${}x^{3}=y^{2}$ gilt, auch ein Bildpunkt der Kurve ist. Dazu müssen wir zu vorgegebenem ${}(x,y)$ ein ${}t$ finden, sodass ${}t^{2}=x$ und ${}t^{3}=y$ gilt. Es bietet sich hier an, ${}t:=y^{\frac {1}{3}}$ zu definieren, weil das Ziehen der dritten Wurzel eine Bijektion auf ganz ${}\mathbb {R}$ ist. Nach Wahl von ${}t$ gilt also ${}t^{3}=y$ und wir können nachrechnen, dass auch ${}t^{2}=(y^{2})^{\frac {1}{3}}=(x^{3})^{\frac {1}{3}}$ gilt, wobei wir ausnutzen, dass ${}(x,y)$ auf der Kurve liegt.

Wir haben nun also gezeigt, das zwei zueinander äuqivalente Beschreibungen vorliegen: im ersten Fall als Bild einer parametrischen Darstellung (die vom Parameter ${}t$ abhängt), im zweiten als implizite Beschreibung (als die impliziten Lösungen einer Gleichung). In diesem Fall besteht die implizite Beschreibung sogar nur aus Polynomen, sodass die Kurve auch als algebraische Kurve bezeichnet wird. Dazu gibt es eine umfangreiche Theorie, die wir hier jedoch nicht im Detail behandeln.

Zur kommentierten Aufgabe