Neilsche Parabel/Schnitt mit Geraden/Aufgabe/Lösung

1. Die Geraden durch den Nullpunkt sind durch

   ${}X=0\,$

   und

   ${}Y=\alpha X\,$

   mit ${}\alpha \in {\mathbb {C} }$ gegeben. Einsetzen in die Gleichung der Neilschen Parabel ergibt im ersten Fall

   ${}Y^{2}=0\,,$

   also den einzigen Schnittpunkt ${}(0,0)$, und im zweiten Fall

   ${}\alpha ^{2}X^{2}=X^{3}\,,$

   also

   ${}X^{2}{\left(X-\alpha ^{2}\right)}=0\,$

   mit den Schnittpunkten ${}(0,0)$ und ${}(\alpha ^{2},\alpha ^{3})$.

2. Die Geraden, die parallel zur ${}X$-Achse sind, sind durch

   ${}Y=c\,$

   mit einem ${}c\in {\mathbb {C} }$ gegeben. Dies führt auf

   ${}c^{2}=X^{3}\,.$

   Bei ${}c=0$ ergibt dies den einzigen Schnittpunkt ${}(0,0)$ und bei ${}c\neq 0$ ergibt dies die Schnittpunkte ${}(\zeta {\sqrt[{3}]{c^{2}}},c)$, wobei ${}{\sqrt[{3}]{c^{2}}}$ eine beliebige dritte Wurzel aus ${}c^{2}$ bezeichnet und ${}\zeta$ die dritten Einheitswurzeln durchläuft.

   Die Geraden, die parallel zur ${}Y$-Achse sind, sind durch

   ${}X=d\,$

   mit einem ${}d\in {\mathbb {C} }$ gegeben. Dies führt auf

   ${}Y^{2}=d^{3}\,.$

   Bei ${}d=0$ ergibt dies den einzigen Schnittpunkt ${}(0,0)$ und bei ${}d\neq 0$ ergibt dies die Schnittpunkte ${}(d,\pm {\sqrt {d^{3}}})$, wobei ${}{\sqrt {d^{3}}}$ eine beliebige Quadratwurzel aus ${}d^{3}$ bezeichnet.

Zur gelösten Aufgabe