Nenneraufnahme/Element/Beziehung/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}f,g\in R$  Elemente. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es ist  ${}D(f)\subseteq D(g)$  (im Spektrum von ${}R$).
2. Es ist  ${}\operatorname {rad} {\left((f)\right)}\subseteq \operatorname {rad} {\left((g)\right)}$. 
3. Es ist  ${}f\in \operatorname {rad} {\left((g)\right)}$. 
4. Es gibt  ${}n\in \mathbb {N}$  mit  ${}f^{n}\in (g)$ 
5. Das Element ${}g$ teilt eine Potenz von ${}f$.
6. Es ist ${}g$ eine Einheit in ${}R_{f}$.
7. Es gibt einen ${}R$-Algebrahomomorphismus ${}R_{g}\rightarrow R_{f}$.

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