Neunerzahlen/Teilbarkeitsbeziehung/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben

$x=10^{\ell }-1$

und

$y=10^m-1.$

Es sei zuerst $\ell$ ein Teiler von $m$, also

$m=\ell k.$

Dann ist

$\begin{array}{cc}y& =10^m-1\\ & =10^{\ell k}-1\\ & ={\left(10^{\ell }\right)}^k-1\\ & =(10^{\ell }-1)\cdot (10^{(k-1)\ell }+\cdots +10^{2\ell }+10^{\ell }+1),\end{array}$

also ist $x$ ein Teiler von $y$.

Für die Umkehrung schreiben wir

$m=\ell k+r$

mit  $0\le r<\ell$  und setzen voraus, dass $y$ von $x$ geteilt wird. Es ist  $r=0$  zu zeigen. Es ist

$\begin{array}{cc}y& =10^m-1\\ & =10^{\ell k+r}-1\\ & =10^{\ell k}\cdot 10^r-1\\ & =(10^{\ell k}-1)\cdot 10^r+10^r-1.\end{array}$

Nach der Hinrichtung ist der linke Faktor des linken Summanden ein Vielfaches von $10^{\ell }-1$. Wenn auch $y$ ein Vielfaches von $10^{\ell }-1$ ist, so muss auch die Differenz, also $10^r-1$, ein Vielfaches von $10^{\ell }-1$ sein. Dies kann aber aus Größengründen nur bei  $r=0$ 

sein.

Zur gelösten Aufgabe