Neunerzahlen/Teilbarkeitsbeziehung/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben

${}x=10^{\ell }-1\,$

und

${}y=10^{m}-1\,.$

Es sei zuerst ${}\ell$ ein Teiler von ${}m$, also

${}m=\ell k\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}y&=10^{m}-1\\&=10^{\ell k}-1\\&={\left(10^{\ell }\right)}^{k}-1\\&={\left(10^{\ell }-1\right)}\cdot {\left(10^{(k-1)\ell }+\cdots +10^{2\ell }+10^{\ell }+1\right)},\end{aligned}}$

also ist ${}x$ ein Teiler von ${}y$.

Für die Umkehrung schreiben wir

${}m=\ell k+r\,$

mit  ${}0\leq r<\ell$  und setzen voraus, dass ${}y$ von ${}x$ geteilt wird. Es ist  ${}r=0$  zu zeigen. Es ist

${}{\begin{aligned}y&=10^{m}-1\\&=10^{\ell k+r}-1\\&=10^{\ell k}\cdot 10^{r}-1\\&={\left(10^{\ell k}-1\right)}\cdot 10^{r}+10^{r}-1.\end{aligned}}$

Nach der Hinrichtung ist der linke Faktor des linken Summanden ein Vielfaches von ${}10^{\ell }-1$. Wenn auch ${}y$ ein Vielfaches von ${}10^{\ell }-1$ ist, so muss auch die Differenz, also ${}10^{r}-1$ ein Vielfaches von ${}10^{\ell }-1$ sein. Dies kann aber aus Größengründen nur bei  ${}r=0$ 

sein.

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