Nf ist ng+nh/Punktierte Überlagerung/Beispiel

Wir betrachten die kürzbaren kommutativen Monoide

${}M=\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\,$

und

${}N=\langle a,b,f,g\rangle /(na=nf,nb=ng)\,$

(zu fixiertem $n\in \mathbb {N} _{+}$) mit dem natürlichen Monoidhomomorphismus

$M\longrightarrow N,\,h\longmapsto a+b,$

(wobei ${}f,g$ auf sich selbst gehen). Wegen

${}nh=n(a+b)=na+nb=nf+ng\,$

ist diese Abbildung wohldefiniert. Für die Nenneraufnahmen gelten

${}M_{f}={\left(\langle f,g,h\rangle /(nh=nf+ng)\right)}_{f}={\left(\langle b,g\rangle /(nb=ng)\right)}\times \mathbb {Z} \,$

mit ${}h-f=b$ und

${}{\begin{aligned}N_{f}&={\left(\langle a,b,f,g\rangle /(na=nf,nb=ng)\right)}_{f}\\&={\left(\langle c,b,f,g\rangle /(nc=0,nb=ng)\right)}_{f}\\&={\left(\langle b,g\rangle /(nb=ng)\right)}\times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(n)\\&=M_{f}\times \mathbb {Z} /(n),\end{aligned}}$

wobei wir ${}c=f-a$ gesetzt haben. Entsprechendes gilt für ${}M_{g}$ und ${}N_{g}$. Somit ist auf dem punktierten Spektrum ${}D(f,g)$ die Abbildung

$\operatorname {Spec} {\left(N\right)}\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(M\right)}$

lokal trivial mit der Faser ${}\operatorname {Spec} {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}$. Es handelt sich um eine (quasifaffine Realisierung einer) kombinatorische Überlagerung.

Über einem Körper, der sämtliche ${}n$-ten Einheitswurzeln enthält, besteht ${}K-\operatorname {Spec} {\left(M\right)}$ aus ${}n$ Ebenen, da der Monoidring durch

$K[X,Y,Z]/{\left(Z^{n}-X^{n}Y^{n}\right)}$

gegeben ist und daher die Faktorisierung

${}Z^{n}-X^{n}Y^{n}={\left(Z-XY\right)}(Z-\zeta XY)\cdots (Z-\zeta ^{n-1}XY)\,$

vorliegt, wobei ${}\zeta$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel bezeichnet. Je zwei Ebenen schneiden sich in ${}Z=XY=0$, also im ebenen Achsenkreuz. Der Monoidring zu ${}N$ ist

${}K[N]=K[X,Y,V,W]/{\left(X^{n}-V^{n},Y^{n}-W^{n}\right)}\,.$

Dagegen besteht ${}K-\operatorname {Spec} {\left(N\right)}$ aus ${}n^{2}$ Ebenen, die durch

$V(X-\zeta ^{i}V,Y-\zeta ^{j}W),\,(i,j)\in \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$

gegeben sind. Dabei schneiden sich zwei Ebenen ${}E_{ij}$ und ${}E_{rs}$ in einer Geraden, wenn ein Index übereinstimmt, sonst im Nullpunkt. Insgesamt ist ${}K-\operatorname {Spec} {\left(N\right)}$ zusammenhängend. Über ${}K-\operatorname {Spec} {\left(M_{f}\right)}$ liegen ${}n$ disjunkte Kopien von ${}K-\operatorname {Spec} {\left(M_{f}\right)}$.

Das Monoid ${}M$ ist ${}\mathbb {Z} /(n)$-graduiert, wobei ${}f,g,h$ den Erzeugergrad ${}1\in \mathbb {Z} /(n)$ bekommen. Das Monoid ${}N$ ist ${}\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$-graduiert, wobei ${}a$ den Grad ${}(1,0)$, ${}b$ den Grad ${}(0,1)$ und ${}f,g$ den Grad ${}(1,1)$ bekommen. Die beiden Graduierungen sind über die Diagonale verträglich. Das Monoid ${}M$ ist das Grad ${}0$-Untermonoid zur Diagonalgraduierung.

Auf ${}K-\operatorname {Spec} {\left(M\right)}$ wirkt die Gruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\vee }=\mu _{n}$ und auf ${}K-\operatorname {Spec} {\left(N\right)}$ wirkt die Gruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)\right)}^{\vee }=\mu _{n}\times \mu _{n}$, was den Graduierungen entspricht. Die Operation der Charaktergruppe zur Diagonalen besitzt ${}K[M]$ als Invariantenring.