Nilpotente Matrizen/2x2/Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Wir betrachten die Menge

${}N={\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid A{\text{ ist nilpotent}}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{4}\,$

der reellen nilpotenten ${}2\times 2$-Matrizen sowie die Menge

${}M=N\setminus \{{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\}\,.$

a) Ist ${}N$ zusammenhängend?

b) Zeige, dass ${}M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{4}$ ist.

c) Bestimme die Dimension von ${}M$.

d) Ist ${}M$ zusammenhängend?

e) Überdecke ${}M$ mit expliziten topologischen Karten.

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