Beweis
Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es sei
eine Basis
(oder ein endliches Erzeugendensystem)
und es sei
mit
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![{\displaystyle {}\varphi ^{k_{j}}(v_{j})=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f873d5b66b438cfdaaed9d84ef13ac105fe31123)
gegeben. Dann erfüllt
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![{\displaystyle {}k:={\max {\left(k_{j},j=1,\ldots ,m\right)}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73a77f2389e7fbe259a91a613fdf1b5e8f2eb12)
die Eigenschaft für jeden Erzeuger. Von (3) nach (4) ist klar. Von (4) nach (1). Zu
ist
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![{\displaystyle {}v=\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d3f4e3681ad8eafd4bc8ebc2ff5c59b390d130)
Aufgrund der Linearität von
ist
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![{\displaystyle {}\varphi ^{k}(v)=\varphi ^{k}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}\varphi ^{k}(v_{i})=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ecd3dc4cd76b7ac89d8f2bd57a4e92e1042cb8)
also ist
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![{\displaystyle {}\varphi ^{k}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccca6a3dcf0882f4ef2f6b05a93fb5976c0666b)