Nilpotenter Endomorphismus/Charakterisierung auf Basis/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es sei $v_1,\dots ,v_n$ eine Basis (oder ein endliches Erzeugendensystem) und es sei  $k_j\in \mathbb{N}$  mit

${\phi }^{k_j}(v_j)=0$

gegeben. Dann erfüllt

$k:=max(k_j,j=1,\dots ,m)$

die Eigenschaft für jeden Erzeuger. Von (3) nach (4) ist klar. Von (4) nach (1). Zu  $v\in V$  ist

$v=\sum _{i=1}^m{a}_i{v}_i.$

Aufgrund der Linearität von ${\phi }^k$ ist

${\phi }^k(v)={\phi }^k\left(\sum _{i=1}^m{a}_i{v}_i\right)=\sum _{i=1}^m{a}_i{\phi }^k(v_i)=0,$

also ist

${\phi }^k=0.$

Zur bewiesenen Aussage