Nilpotenter Endomorphismus/Charakterisierung auf Basis/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist nilpotent.
2. Für jeden Vektor  ${}v\in V$  gibt es ein  ${}k\in \mathbb {N}$  mit

   ${}\varphi ^{k}(v)=0\,.$

3. Es gibt eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und ein  ${}k\in \mathbb {N}$  mit

   ${}\varphi ^{k}(v_{i})=0\,$

   für  ${}i=1,\ldots ,n$. 

4. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ von ${}V$ und ein  ${}k\in \mathbb {N}$  mit

   ${}\varphi ^{k}(v_{i})=0\,$

   für  ${}i=1,\ldots ,n$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen